1. Phần bù đại số
Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ khi đó ${{A}_{ij}}={{(-1)}^{i+j}}{{M}_{ij}},$ với ${{M}_{ij}}$ là định thức nhận được từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi dòng $i$ và cột $j$ được gọi là phần bù đại số của phần tử ${{a}_{ij}}.$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { - 3}&4&2&1\\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$
Tính các phần bù đại số ${{A}_{11}},{{A}_{12}},{{A}_{13}},{{A}_{14}}.$
Giải.Bạn đang xem: Bài tập tính định thức cấp 4 có lời giảiTa có:
$\begin{array}{l} {A_{11}} = {( - 1)^{1 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4&2\\ 4&2&1\\ 2&1&3 \end{array}} \right| = - 35;{A_{12}} = {( - 1)^{1 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&2\\ { - 3}&2&1\\ { - 1}&1&3 \end{array}} \right| = - 45;\\ {A_{13}} = {( - 1)^{1 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&2\\ { - 3}&4&1\\ { - 1}&2&3 \end{array}} \right| = 34;{A_{14}} = {( - 1)^{1 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4\\ { - 3}&4&2\\ { - 1}&2&1 \end{array}} \right| = 7. \end{array}$
Công thức khai triển Laplace
Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ khi đó
$\det (A)={{a}_{i1}}{{A}_{i1}}+{{a}_{i2}}{{A}_{i2}}+...+{{a}_{in}}{{A}_{in}}\text{ }(i=1,2,...,n)$
đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo dòng thứ $i.$
$\det (A)={{a}_{1j}}{{A}_{1j}}+{{a}_{2j}}{{A}_{2j}}+...+{{a}_{nj}}{{A}_{nj}}\text{ }(j=1,2,...,n)$
đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo cộng thứ $j.$
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { - 3}&4&2&1\\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right)$ theo công thức khai triển dòng 1.
Bạn đang xem: Bài tập tính định thức cấp 4 có lời giải
Giải. Có$\det (A)=1.{{A}_{11}}+2.{{A}_{12}}-1.{{A}_{13}}+m.{{A}_{14}},$ trong đó
$\begin{array}{l} {A_{11}} = {( - 1)^{1 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4&2\\ 4&2&1\\ 2&1&3 \end{array}} \right| = - 35;{A_{12}} = {( - 1)^{1 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&2\\ { - 3}&2&1\\ { - 1}&1&3 \end{array}} \right| = - 45;\\ {A_{13}} = {( - 1)^{1 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&2\\ { - 3}&4&1\\ { - 1}&2&3 \end{array}} \right| = 34;{A_{14}} = {( - 1)^{1 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4\\ { - 3}&4&2\\ { - 1}&2&1 \end{array}} \right| = 7. \end{array}$
Vậy $\det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$
Ví dụ 2: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ { - 3}&1&5&1\\ { - 2}&5&0&0\\ 2&{ - 1}&3&{ - 1} \end{array}} \right|.$
Giải. Để ý dòng 3 của định thức có 2 phần tử bằng 0 nên khai triển theo dòng này sẽ chỉ có hai số hạng
Có \
Ví dụ 3: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{ - m}\\ { - 2}&{ - 1}&2&1\\ 0&{ - 3}&4&2\\ 0&{ - 5}&1&1 \end{array}} \right|.$
Giải. Để ý cột 1 có 3 phần tử bằng 0 nên khai triển theo cột 1 ta có
\
Ví dụ 4: Tính định thức \
Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho định thức theo cột 3
Ví dụ 5: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ 2&{ - 4}&3&1\\ { - 3}&2&1&2 \end{array}} \right|.$
Giải. Có
Ví dụ 6: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2}\\ { - 3}&2&1&2 \end{array}} \right).$ Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng 4 của ma trận $A.$
Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A bởi $-2,$ ta được ma trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2} \end{array}} \right)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau.
Vậy $\det (B)=-2{{A}_{41}}-2{{A}_{42}}-2{{A}_{43}}-2{{A}_{44}}=0\Leftrightarrow {{A}_{41}}+{{A}_{42}}+{{A}_{43}}+{{A}_{44}}=0.$
Ví dụ 7: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 2}&{ - 1}&4&1\\ 3&{ - 4}&{ - 5}&6\\ { - 4}&5&{ - 6}&7 \end{array}} \right).$ Tính ${{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}.$
Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A lần lượt bởi $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 2}&{ - 1}&4&1\\ 3&{ - 4}&{ - 5}&6\\ 1&2&3&4 \end{array}} \right)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau
Vậy $\det (B)=1{{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0\Leftrightarrow {{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0.$
Ví dụ 8: Cho D là một định thức cấp n có tất cả các phần tử của một dòng thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:
Tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc mỗi dòng khác dòng thứ i đều bằng 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của tất cả các phần tử của nó.Xem thêm: Nghĩa Của Từ Champion Là Gì ? (Từ Điển Anh Nghĩa Của Từ Champion
Ví dụ 9: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5&0&{ - 1}&3\\ 1&0&3&7&{ - 2}\\ 3&{ - 1}&0&5&{ - 5}\\ 2&6&{ - 4}&1&2\\ 0&{ - 3}&{ - 1}&2&3 \end{array}} \right|.$
Ví dụ 10: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&3&2&{ - 5}\\ 2&1&2&{ - 1}&3\\ 1&4&2&0&1\\ 3&5&2&3&3\\ 1&4&3&0&{ - 3} \end{array}} \right|.$
3. Định thức của ma trận tam giác
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:
đối với ma trận tam giác dưới khai triển theo dòng 1.
4. Tính định thức dựa trên các tính chất định thức, công thức khai triển Laplace và biến đổi về ma trận tam giác
Ví dụ 10: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{...}&b\\ b&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ b&b&{...}&a \end{array}} \right|.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{...}&b\\ b&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ b&b&{...}&a \end{array}} \right|\underline{\underline {c2 + c3 + ... + cn + c1}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + (n - 1)b}&b&{...}&b\\ {a + (n - 1)b}&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {a + (n - 1)b}&b&{...}&a \end{array}} \right|\\ = \left( {a + (n - 1)b} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b&{...}&b\\ 1&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ 1&b&{...}&a \end{array}} \right|\\ \underline{\underline { - {d_1} + {d_i}}} \left( {a + (n - 1)b} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b&{...}&b\\ 0&{a - b}&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&{...}&{a - b} \end{array}} \right| = \left( {a + (n - 1)b} \right){(b - b)^{n - 1}}. \end{array}$
Hiện tại kulturbench.com xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
